Question

1．如圖，已知等邊△ABC中，D為邊AC上一點．
（1）以BD為邊作等邊△BDE，連接CE，求證：AD=CE；
（2）如果以BD為斜邊作Rt△BDE，且∠BDE=30°，連接CE并延長，與AB的延長線交于F點，求證：AD=BF；
（3）若在（2）的條件的基礎(chǔ)上，∠F=45°，CF=6，直接寫出△AFC的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD=CE，只要證明△ABD≌△CBE即可．
（2）如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．首先證明△DBH是等邊三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再證明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可證明．
（3）如圖3中，作CH⊥AF于H．在Rt△CFH中，由∠F=45°，∠CHF=90°，推出∠F=∠HCF=45°，推出HF=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=3$\sqrt{2}$，在Rt△ACH中，由∠AHC=90°，∠A=60°，推出∠ACH=30°，推出AH=CH•tan30°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{6}$，AF=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，根據(jù)S_△ACF=$\frac{1}{2}$•AF•CH計算即可．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．

（2）證明：如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．

∵BE=EH，DE⊥BH，
∴DB=DH，∠BDE=∠HDE=30°，
∴∠BDH=60°，
∴△DBH是等邊三角形，
由（1）可知，△ABD≌△CBH，
∴AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，
∴BF∥CH，
∴∠F=∠ECH，
在△EBF和△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠CEH}\\{∠F=∠ECH}\\{BE=EH}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EHC，
∴BF=CH，
∴AD=CE．

（3）如圖3中，作CH⊥AF于H．

在Rt△CFH中，∵∠F=45°，∠CHF=90°，
∴∠F=∠HCF=45°，
∴HF=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，∠A=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AH=CH•tan30°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{6}$，
∴AF=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$•AF•CH=$\frac{1}{2}$•（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）•3$\sqrt{2}$=9+3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形30角度性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．