Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點B做⊙O的切線BC，點D為⊙O上一點，且CD＝CB，連結DO并延長交CB的延長線于點E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）連接AC，若BE＝4，DE＝8，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6．

【解析】

（1）證明△COB≌△COD，得到∠ODC=∠OBC=90°，根據切線的判定定理證明；

（2）根據勾股定理求出半徑r和 CB．在Rt△ABC中根據勾股定理計算即可．

（1）在△COB和△COD中，∵，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是⊙O的切線；

（2）設OB=r，則EO=ED-OD=8-r，由勾股定理得：OE2=OB2+BE2，即，解得：r=3，∴AB=2r =6．在Rt△EDC中，DE2+DC2=EC2，即82+BC2=（4+BC）2，解得：BC=6，∴AC6．