Question

【題目】如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為m，n，則這兩個(gè)正方形的面積和的最小值為（ ）

A. B. C. 3D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n，它們的面積和為S，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得 ，，則 ，所以 ， ，接著確定m的取值范圍為： ，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最小值．

解：設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n，它們的面積和為S，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=60°， ，

在Rt△ADN中，，

在Rt△BPF中，，

∵BD+DE+EF+CF=AB，

∴，

∴，
∴，

∴，

又∵當(dāng)點(diǎn)M落在AC上，則正方形DEMN的邊長(zhǎng)最大，正方形EFPH的邊長(zhǎng)最小，

當(dāng)點(diǎn)H落在BC上，則正方形DEMN的邊長(zhǎng)最小，正方形EFPH的邊長(zhǎng)最大，

∴當(dāng)點(diǎn)M落在AC上時(shí)：

為正三角形，

在中，，，

∴ ，解得

在中，，

∵BD+DE+EF+CF=AB，

∴

解得，

∴，

∴當(dāng) 時(shí)，S最小，S的最小值為 ．
故選：D．