Question

代數(shù)式(

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x+1)5的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為五個(gè)多項(xiàng)式(

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x+1)•(

2

x+1)•(

2

x+1)•(

2

x+1)•(

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x+1)相乘，按多項(xiàng)式乘法法則，展開合并同類項(xiàng)后其乘積為：a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，其中a₅、a₄、a₃、a₂、a₁、a₀為乘積展開式各項(xiàng)的系數(shù)，因此，(

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x+1)5=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀．
（1）求a₀與a₅的值；
（2）求（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²的值．

Answer 1

分析：根據(jù)所給信息，和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的特點(diǎn)，
（1）令x=0可求出a₀的值．又因?yàn)閍₅是x⁵的系數(shù)，可求出a₅的值．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，（

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+1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀①
當(dāng)x=-1時(shí)，（-

2

+1）⁵=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀②
再對(duì)所求式子變形，把①②代入化簡即可．

解答：解：（1）∵（

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x+1）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，
令x=0，得到a₀=1．
∵a₅是x⁵的系數(shù)，
∴a₅=（

2

）⁵=4

2

．

（2）∵（

2

x+1）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀在上述等式中：
當(dāng)x=1時(shí)，（

2

+1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀，
當(dāng)x=-1時(shí)，（-

2

+1）⁵=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀，
又∵（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²，
=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）•（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅），
=（

2

+1）⁵（-

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+1）⁵，
=（1-2）⁵，
=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，讀懂題目信息并利用好信息是解題的關(guān)鍵，利用了特殊值代入法來化簡求值使運(yùn)算更加簡便．