Question

（2009•保定二模）正方形ABCD中，點P是CD所在直線上一點，連接PA，分別過B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F．
（1）如圖1，當(dāng)點P在DC邊上時，通過觀察或測量，猜想線段BE、DF、EF應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，當(dāng)點P在DC的延長線上時，通過觀察或測量，猜想線段BE、DF、EF應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，當(dāng)點P在CD的延長線上時，線段BE、DF、EF又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論（不必進(jìn)行證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知證出△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性質(zhì)，BE=AF，AE=DF，得出BE-DF=EF；
（2）同（1）可得出圖（2）中DF-BE=EF；
（3）同（1）可得出圖（3）中DF+BE=EF．

解答：解：（1）BE-DF=EF，
對圖1中結(jié)論證明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=AD

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

（2）DF=BE+EF，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE=AF+EF，
∴DF=EB+EF．

（3）EF=BE+DF．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質(zhì)來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質(zhì)解題．