Question

【題目】如圖，是的直徑，，是的兩條切線，切點分別為B，C．連接交于點D，交于點E，連接．

（1）求證：；

（2）若的半徑為5，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）連接OC，易證：RtPBO~RtPCO，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得：OE是ABC的中位線，即可得證；

（2）由勾股定理得：，由母子相似三角形，可得：PO=，進而求出PB的長.

（1）連接OC，則OB=OC，

∵，是的兩條切線，

∴PB=PC，∠PBO=∠PCO=90°，

在RtPBO和RtPCO中，

∵，

∴RtPBO~RtPCO（HL），

∴∠BPO=∠CPO，

∴BE=CE（等腰三角形三線合一），

∴OE是ABC的中位線，

∴；

（2）∵OE是ABC的中位線，

∴OE∥AC，，

∴∠OEB=∠ACB=90°，

∵，

∵PB是圓的切線，

∴∠PBO=90°，

∵∠BOE=∠POB，

∴BOE~ POB，

∴，即：，

∴PO=，

∴ .