Question

【題目】是等邊三角形，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，以P為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（）得線段，連接，．

（1）如圖，若，畫(huà)出當(dāng)時(shí)的圖形，并寫(xiě)出此時(shí)n的值；

（2）M為線段的中點(diǎn)，連接．寫(xiě)出一個(gè)n的值，使得對(duì)于延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)P，總有，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）由是等邊三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，進(jìn)而得到∠BPC=60°，即可求解；

（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，

設(shè)點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)P（x，0），根據(jù)坐標(biāo)系中，中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式，分別表示出MP，AP的長(zhǎng)度，即可.

如圖1，若，當(dāng)時(shí)，n=60°，理由如下：

∵是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵，

∴∠CAP=∠CPA=30°，

∵

∴∠PBQ=∠CPA=30°，

∵，

∴，

∴∠Q=90°，

∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，

∴n=60°；

（2）當(dāng)n=120°時(shí)，對(duì)于延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)P，總有，理由如下：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，

設(shè)點(diǎn)B（a，0），點(diǎn)P（x，0），

∴PQ=PC=x，

∵∠CPQ=120°，

∴∠NPQ=180°-120°=60°，

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸，則PH=x，QH=x,

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，），

∵點(diǎn)M時(shí)BQ的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，則CE=CB，AE=CE，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為： ，

∴AP==

MP==，

即：.

圖1 圖2