Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A（6，0），拋物線的頂點(diǎn)為B．

（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿線段OB運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（s）．問當(dāng)t為何值時，△OPA是直角三角形？

（3）若同時有一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個長度單位的速度沿線段AO運(yùn)動，當(dāng)P、M其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動時間為t（s），連接MP，當(dāng)t為何值時，四邊形ABPM的面積最��？并求此最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x，（3，3）；（2）t＝3時，△OPA是直角三角形；（3）當(dāng)t＝時，四邊形ABPM的面積取最小值，最小值為

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)O，A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式，再將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線OB的解析式，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），由tan∠POC＝可得出∠POC＝60°，結(jié)合OA的值可找出當(dāng)∠APO＝90°時OP的長，由點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1可求出此時t的值；

（3）當(dāng)運(yùn)動時間為t時，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t，結(jié)合點(diǎn)P，M的運(yùn)動速度可得出0≤t≤3，由S四邊形ABPM＝S△ABO﹣S△POM可得出四邊形ABPM的面積關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解：（1）將O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x．

∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，

∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3）．

（2）設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，

將B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，

解得：k＝，

∴直線OB的解析式為y＝x．

過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0）．

∵tan∠POC＝＝，

∴∠POC＝60°．

當(dāng)∠APO＝90°，則cos∠POC＝＝，

∴OP＝3．

∵OP＝1×t＝3，

∴t＝3．

（3）當(dāng)運(yùn)動時間為t時，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t．

∵當(dāng)P、M其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，

∴0≤t≤3．

S四邊形ABPM＝S△ABO﹣S△POM，

＝OAyB﹣OMPC，

＝×6×3﹣×（6﹣2t）×t，

＝t2﹣t+9，

＝（t﹣）2+．

∵＞0，

∴當(dāng)t＝時，四邊形ABPM的面積取最小值，最小值為．