Question

【題目】已知⊙是△的外接圓，是⊙的直徑，是延長線上的一點，交的延長線于,交⊙于,于,點是弧的中點.

⑴求證：是⊙的切線；

⑵若是一元二次方程的兩根，求和的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE＝，AG＝4

【解析】

(1)連接，由，，得：，從而得：∥，進而得到：，即可得證；

(2)易得：，由CAF~BCF，得：，進而得：，進而求得CE的長，由△≌△(HL)，得：，由△≌△(HL)，得，進而求出AG的長.

⑴.證明：連接，如圖1，

∵，

∴，

∵點是弧的中點，即，

∴，

∴，

∴∥，

∴ ，

∵，

∴， 即，

又∵是⊙的半徑，

∴是⊙的切線.

⑵解一元二次方程的兩根為：，

∵ ，

∴，

∵是⊙的直徑，

∴ ，

∵，

∴ ，

∵∠CAF+∠ACF=90°，∠ACF+∠BCF=90°,

∴∠CAF=∠BCF，

∴CAF~BCF，

∴，即：，

∴，

∵ ，且，，

∴，

∵，

∴△≌△(HL)，

∴，

連接，如圖2，

∵點是弧的中點，即，

∴，

∵，

∴△≌△(HL)，

∴，

∴.

圖1 圖2