Question

【題目】如圖，AB為的直徑，C、D為上兩點(diǎn)，且，垂足為F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC

（1）判斷EF與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（2）若，的半徑為4，求線段CF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；（2）CF=2

【解析】

（1）連接OC，由題意可得∠OCA=∠FAC=∠OAC，可得OC∥AF，可得OC⊥EF，即EF是⊙O的切線；

（2）由直角三角形的性質(zhì)可求AC=EC=4，即可求CF的長(zhǎng)．

（1）EF與⊙O相切，理由如下：

如圖，連接OC，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠FAC，

∴OC∥AF，

又∵EF⊥AF，

∴OC⊥EF

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵∠FEA=30°，EF⊥AF，

∴∠FAE=60°，且∠FAC=∠BAC，

∴∠FAC=∠BAC=30°，

∴∠FEA=∠BAC=30°，

∴CE=AC，

∵OC⊥EF，∠FEA=30°，

∴CE=OC=4，

∴AC=4，

∵∠FAC=30°，EF⊥AF，

∴AC=2CF，

∴CF=2