Question

如圖①，兩個(gè)菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，對(duì)角線均在坐標(biāo)軸上，已知菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2，∠BAD＝120°，其中AD＝4．

（1）點(diǎn)D坐標(biāo)為 ，點(diǎn)E坐標(biāo)為 ；

（2）固定圖①中的菱形ABCD，將菱形EFCH繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長OE交AD于P，延長OH交CD于Q，如圖②所示，

①當(dāng)α＝30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②試探究：在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)推斷出α的值；若不存在，說明理由；

 

 

Answer 1

（1）點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，1）．

（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）；

②當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形．理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由于∠BAD=120°，易知∠OAD=60°，通過解直角△AOD來求OD、OA的長度；然后利用相似比來求OE的長度；

（2）由（1）和相似多邊形的性質(zhì)知，OA=2，OD=2 ，EF=2．

①作PM⊥OA于點(diǎn)M，易求AM、PM的長度；

②如果四邊形AFEP是平行四邊形，那么首要滿足的條件是AP∥FE，由于∠FEO=60°，因此∠APO必為60°，此時(shí)△AOP中，∠APO=∠OAP=60°，因此△AOP是等邊三角形，已知兩菱形的位似比為2：1，因此EF= AD，也就是EF=AP，由此可得出當(dāng)α=60°時(shí)，AP //EF，且AP=EF，即四邊形APEF是平行四邊形．

試題解析：（1）如圖①，∵∠BAD=120°，四邊形ABCD是菱形，

∴∠OAD=∠BAD=60°．

又∵在直角△AOD中，AD=4，

∴OA=AD•cos60°=4×=2，

OD=AD•sin60°=4×=2．

又菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，

∴OE：OA=1：2，

∴OE=1，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，1）．

故答案是：（2，0），（0，1）；

（2）由（1）知，OA=2，OD=2，∠OAD=60°．

∵菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，AD=4，

∴EF=AB=AD=2．

①當(dāng)α=30°時(shí)，∠APO=90°，則AP=OA=1．

如圖②，作PM⊥OA于點(diǎn)M．則AM=AP=，PM=，

∵OM=OA-AM=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）；

②當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形．理由如下：

∵在旋轉(zhuǎn)過程中，EF=2，∠FEO=60°，∠OAP=60°，當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)角度α=60°時(shí)，得△AOP是等邊三角形，此時(shí)∠APO=60°，AP=2，

∴AP=EF，

∴∠APO=∠FEO，得AP∥EF，

∴四邊形AFEP是平行四邊形，

∴當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形．

考點(diǎn)：1、菱形的性質(zhì)；2、解直角三角形；3、圖形的旋轉(zhuǎn)變換；4、相似多邊形的性質(zhì)