Question

如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG．

(1) 求證：∠EDG=45°．

(2) 如圖2，E為BC的中點(diǎn)，連接BF．

①求證：BF∥DE；

②若正方形邊長(zhǎng)為6，求線段AG的長(zhǎng)．

(3) 當(dāng)BE︰EC= 時(shí)，DE=DG．

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析，2；（3）.

【解析】

試題分析：（1）易證△DGA≌△DGF，知∠3＝∠4，由折疊得∠1＝∠2，所以∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°；

（2）如圖2由折疊易知∠5＝∠6，再由三角形的外角知∠5＝∠DEC，得證BF∥DE；由勾股定理可求AG的長(zhǎng)；

（3）.

試題解析：（1）證明：如圖：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．

∵ △DEC沿DE折疊得到△DEF，

∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，

∴∠DFG=∠A，DA=DF，

又∵DG=DG，

∴△DGA≌△DGF，

∴∠3＝∠4，

∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．

(2) ①證明：∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，E為BC的中點(diǎn)

∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．

∴∠5＝∠6，

∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6

∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC

∴BF∥DE．

②【解析】
設(shè)AG=x，則GF=x，BG=6－x，

由正方形邊長(zhǎng)為6，得CE=EF=BE=3，

∴GE=EF+GF=3+x．

在Rt△GBE中，根據(jù)勾股定理得：

解得x=2，即線段AG的長(zhǎng)為2．

(3) .

考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.平行線的判定；3.勾股定理.