Question

如圖，△ABC中，O是AC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形．

（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）【解析】
當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

考點(diǎn)：矩形的判定.