Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，點D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD的延長線，垂足為E．

（1）若BD是AC邊上的中線，如圖1，求的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖2，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

設(shè)AB=AC=1，CD=x，應(yīng)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，把用x來表示，

（1）若BD是AC的中線，則CD=AD，據(jù)此求出的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分線，則由Rt△ABD∽Rt△EBC得，據(jù)此求出的值.

設(shè)AB=AC=1，CD=x，則0＜x≤1，BC=，AD=1－x．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1－x）2=x2－2x+2．

由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴，即，∴.

∴，0＜x≤1.

（1）若BD是AC的中線，則CD=AD=x=，得.

（2）若BD是∠ABC的角平分線，則Rt△ABD∽Rt△EBC，

∴，得，即，解得，.

∴.