Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，以BE為直徑的圓O過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：AC是圓O的切線(xiàn)；
（2）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，即∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OD⊥AC；
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）Rt△ABC中，AC=4，BC=3，則AB=5；
在Rt△AOD中，設(shè)AD=4x，則OD=3x，OA=5x；
∵OE=OD=3x，
∴AE=OA-OE=2x，
由于AB=AE+BE=2x+6x=5，故x=

5

8

，
∴AE=2x=

5

4

．