Question

△ABC與△A′B′C′是兩個直角邊都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分別是直角邊AC、BC的中點．△ABC位置固定，△A′B′C′按如圖疊放，使斜邊A′B′在直線MN上，頂點B′與點M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直線MN向右平移，直到點A'與點N重合．設(shè)x秒時，△A′B′C′與△ABC重疊部分面積為y平方厘米．

（1）當(dāng)△A′B′C′與△ABC重疊部分面積為

3

2

2

平方厘米時，求△A′B′C′移動的時間；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求△A′B′C′與△ABC重疊部分面積的最大值．

Answer 1

分析：本題的關(guān)鍵是求出重合部分的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，可分三種情況進行討論：
①當(dāng)B′在△ABC內(nèi)部時，即當(dāng)0≤x≤2

2

時，此時重合部分是平行四邊形，以MB′為底，以AM•sin45°為高．據(jù)此可求出此時y，x的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)A′，B′都在△ABC外部時，即當(dāng)2

2

≤x≤4

2

時，此時重合部分是個六邊形，可用△A′B′C′的面積-△A′ME的面積-△B′ND的面積-△GC′F的面積來求解．
③當(dāng)A′在△ABC內(nèi)部時，即當(dāng)4

2

≤x≤6

2

時，此時重合部分是平行四邊形，求法和①相同．
根據(jù)上述三種情況可得出三個不同的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)式即可求出當(dāng)y為

3

2

2

平方厘米時x的值，以及y的最大值及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）①如圖1，當(dāng)B′在△ABC內(nèi)時，重疊部分是平行四邊形，
由題意得：

2

x=

3 2

2

，
解得x=

3

2

．
②如圖3，當(dāng)A′在△ABC內(nèi)時，重疊部分是平行四邊形，
由題意得：A′N=6

2

-x，y=（6

2

-x）×

2

=

3 2

2

，
解得x=6

2

-

3

2

，
綜上所述，當(dāng)△A′B′C′與△ABC重疊部分面積為

3

2

2

平方厘米時，△A′B′C′移動的時間為

3

2

或（6

2

-

3

2

）秒．

（2）①如圖1，當(dāng)0≤x≤2

2

時y=

2

x，
②如圖2，當(dāng)2

2

≤x≤4

2

時，如圖，△DB′N，△A′ME，△C′FG是等腰直角三角形，
由B′N=x-2

2

，GF=MN=2

2

，A′M=4

2

-x，
則y=

1

2

×4×4-

1

2

×2×2-

1

4

×（x-2

2

）²-

1

4

（4

2

-x）²
即y=-

1

2

x²+3

2

x-4；
③如圖3，當(dāng)4

2

≤x≤6

2

時，A′M=x-4

2

，A′N=2

2

-x+4

2

=6

2

-x，
y=A′N×

2

=-

2

x+12．

（3）①當(dāng)0≤x≤2

2

時，最大值=4，
②當(dāng)2

2

≤x≤4

2

時，最大值=5，
③當(dāng)4

2

≤x≤6

2

時，最大值=4，
所以，△A′B′C′與△ABC重疊部分面積的最大值為5．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點．