Question

4．已知關于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0．
（1）求證：無論m取任何實數，方程總有實數根；
（2）若拋物線y=x²-mx+m-1經過（k-1，8）和（-k+5，8）兩點，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若此拋物線與x軸交與A、B（點A在點B的左邊），M（a，b）為拋物線上任意一點，若0°＜∠MAB≤45°，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程根的判別式即可得到結論；
（2）由于拋物線y=x²-mx+m-1過點（k-1，8）和點（-k+5，8）．得到對稱軸為：x=$\frac{（k-1）（-k+5）}{2}$=2，求得m=4．得到結論；
（3）拋物線與x軸交與A、B（點A在點B的左邊），得到A（1，0），B（3，0），當M點在x軸的上方，當M點在x軸的下方，過M作ME⊥x軸于E，得到△MAB是等腰直角三角形，列方程得到結論．

解答 （1）證明：在x²-mx+m-1=0中，△=m²-4（m-1）=m²-4m+4=（m-2）²
∵當m取任何值時，（m-2）²≥0，
∴無論m取任何實數時，方程總有實數根．

（2）解：①∵拋物線y=x²-mx+m-1過點（k-1，8）和點（-k+5，8）．
∴拋物線y=x²-mx+m-1的對稱軸為：x=$\frac{（k-1）（-k+5）}{2}$=2，
∴x=$\frac{m}{2}$，解得m=4．
∴y=x²-4x+3；

（3）解：∵拋物線x²-4x+3與x軸交與A、B（點A在點B的左邊），
∴A（1，0），B（3，0），
當M點在x軸的上方，
過M作ME⊥x軸于E，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴ME=AE，
即b=a-1，
∵M（a，b）為拋物線上任意一點，
∴a-1=a²-4a+3，
解得a=4，a=1（不合題意，舍去），
當M點在x軸的下方，
過M作MF⊥x軸于F，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴MF=AF，
即-b=a-1，
∵M（a，b）為拋物線上任意一點，
∴-a+1=a²-4a+3，
解得a=2，a=1（不合題意，舍去），
∴a的取值范圍為2≤a≤4．

點評 本題考查了二次方程的根的判別式以及拋物線的解析式求法，構建等腰直角三角形是本題的關鍵．