Question

1．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、B和D的距離分別為1，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連結(jié)PP′，并延長AP與BC相交于點(diǎn)Q．
（1）求證：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判斷△APP′是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}$，∠APP′=45°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PD=P′B=$\sqrt{10}$，接著根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定義計算∠BPQ的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，
∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}$，∠APP′=45°，
∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，
∴PD=P′B=$\sqrt{10}$，
在△PP′B中，PP′=$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{2}$，P′B=$\sqrt{10}$，
∵（$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
∴PP′²+PB²=P′B²，
∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB=90°，
∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠P′PB=180°-45°-90°=45°．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．