Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數(shù)量關系；

（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數(shù)量之間的關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析：（2）AD=DG+DM．（3）AD=DG-DN．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；

（2）延長ED使得DN=DM，連接MN，即可得出△NDM是等邊三角形，利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；

（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠H=∠2，進而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．

試題解析：（1）證明：如圖1所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，BC=AB．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠DBA=∠A=30°．

∴DA=DB．

∵DE⊥AB于點E．

∴AE=BE=AB．

∴BC=BE．

∴△EBC是等邊三角形；

（2）結論：AD=DG+DM．

證明：如圖2所示：延長ED使得DN=DM，連接MN，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，

∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，

又∵DM=DN，

∴△NDM是等邊三角形，

∴MN=DM，

在△NGM和△DBM中，

∵

∴△NGM≌△DBM，

∴BD=NG=DG+DM，

∴AD=DG+DM．

（3）結論：AD=DG-DN．

證明：延長BD至H，使得DH=DN．

由（1）得DA=DB，∠A=30°．

∵DE⊥AB于點E．

∴∠2=∠3=60°．

∴∠4=∠5=60°．

∴△NDH是等邊三角形．

∴NH=ND，∠H=∠6=60°．

∴∠H=∠2．

∵∠BNG=60°，

∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．

即∠DNG=∠HNB．

在△DNG和△HNB中，

∴△DNG≌△HNB（ASA）．

∴DG=HB．

∵HB=HD+DB=ND+AD，

∴DG=ND+AD．

∴AD=DG-ND．

考點：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．