Question

【題目】對于某一函數給出如下定義：若存在實數m，當其自變量的值為m時，其函數值等于﹣m，則稱﹣m為這個函數的反向值．在函數存在反向值時，該函數的最大反向值與最小反向值之差n稱為這個函數的反向距離．特別地，當函數只有一個反向值時，其反向距離n為零．

例如，圖中的函數有4，﹣1兩個反向值，其反向距離n等于5．

（1）分別判斷函數y＝﹣x+1，y＝，y＝x2有沒有反向值？如果有，直接寫出其反向距離；

（2）對于函數y＝x2﹣b2x，

①若其反向距離為零，求b的值；

②若﹣1≤b≤3，求其反向距離n的取值范圍；

（3）若函數y＝請直接寫出這個函數的反向距離的所有可能值，并寫出相應m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2有反向值，反向距離是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）當m＞2或m≤﹣2時，n＝2，當﹣2＜m≤2時，n＝4．

【解析】

(1)根據題目中的新定義可以分別計算出各個函數是否有方向值，有反向值的可以求出相應的反向距離；

(2)①根據題意可以求得相應的b的值；

②根據題意和b的取值范圍可以求得相應的n的取值范圍；

(3)根據題目中的函數解析式和題意可以解答本題．

(1)由題意可得，

當﹣m＝﹣m+1時，該方程無解，故函數y＝﹣x+1沒有反向值，

當﹣m＝時，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝有反向值，反向距離為2，

當﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距離是1；

(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，

解得，m＝0或m＝b2﹣1，

∵反向距離為零，

∴|b2﹣1﹣0|＝0，

解得，b＝±1；

②令﹣m＝m2﹣b2m，

解得，m＝0或m＝b2﹣1，

∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，

∵﹣1≤b≤3，

∴0≤n≤8；

(3)∵y＝，

∴當x≥m時，

﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，

∴n＝2﹣0＝2，

∴m＞2或m≤﹣2；

當x＜m時，

﹣m＝﹣m2﹣3m，

解得，m＝0或m＝﹣4，

∴n＝0﹣(﹣4)＝4，

∴﹣2＜m≤2，

由上可得，當m＞2或m≤﹣2時，n＝2，

當﹣2＜m≤2時，n＝4．