Question

（1）如表，方程1，方程2，方程3，…，是按照一定規(guī)律排列的一列方程．解方程1，并將它的解填在表中的空白處；

序號	方程	方程的解
1	6 x - 1 x-2 =1	x1=	x2=
2	8 x - 1 x-3 =1	x1=4	x2=6
3	10 x - 1 x-4  =1	x1=5	x2=8
…	…	…	…

（2）若方程

a

x

-

1

x-b

=1（a＞b）的解是x₁=6，x₂=10，求a、b的值．該方程是不是（1）中所給出的一列方程中的一個方程？如果是，它是第幾個方程？
（3）請寫出這列方程中的第n個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第n個方程．

Answer 1

分析：（1）兩邊同時乘最簡公分母x（x-2），可把分式方程化為整式方程來解答．
（2）先將x₁=6，x₂=10分別代入方程

a

x

-

1

x-b

=1，求得a、b的值．因此得到方程為

12

x

-

1

x-5

=1，發(fā)現(xiàn)它是（1）中所給一列方程中的一個，是第4個．
（3）先按照規(guī)律列出方程的第n個方程，再求解并檢驗．

解答：解：（1）

6

x

-

1

x-2

=1，整理，得x²-7x+12=0．解得x₁=3，x₂=4（2分）
經(jīng)檢驗知，x₁=3，x₂=4是原方程的根．

（2）將x₁=6，x₂=10分別代入

a

x

-

1

x-b

=1，
得

a 6 - 1 6-b =1 a 10 - 1 10-b =1

，
消去a，整理得b²-17b+60=0，
解得b₁=5，b₂=12．
當(dāng)b₁=5時，a₁=12；
當(dāng)b₂=12時，a₂=5．
∵a＞b，
∴

a=12 b=5

．
經(jīng)檢驗知，

a=12 b=5

適合分式方程組．
所得方程為

12

x

-

1

x-5

=1．（4分）
它是（1）中所給一列方程中的一個，是第4個．（5分）

（3）這個方程的第n個方程為

2(n+2)

x

-

1

x-(n+1)

=1．（n≥1，n為整數(shù)）
它的解為x₁=n+2，x₂=2（n+1）（6分）
檢驗：當(dāng)x₁=n+2時，左邊=

2(n+2)

x

-

1

x-(n+1)

=1
=

2(n+2)

n+2

-

1

(n+2)-(n+1)

=2-1=1=右邊
當(dāng)x₂=2（n+1）時，左邊=

2(n+2)

2(n+1)

-

1

2(n+1)-(n+1)

=

n+2

n+1

-

1

n+1

=1=右邊
所以，x₁=n+2和x₂=2（n+1）是方程

2(n+2)

x

-

1

x-(n+1)

=1的解．（8分）

點評：（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要驗根．