Question

25、（1）如表：方程1，方程2，方程3，…是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程3，并將它的解填在表中：

序號	方程	方程的解
1	x2-2x-3=0	x1=-1	x2=3
2	x2-4x-12=0	x1=-2	x2=6
3	x2-6x-27=0	x1 -3	x2 9
…	…	…	…

（2）x₁=-10，x₂=30是不是（1）中所給的一列方程中的一個方程的兩個根？
（3）請寫出這列方程中第k個方程．

Answer 1

分析：（1）可以利用因式分解法解方程，按照前兩個方程的根的書寫規(guī)律，第一個根是負(fù)數(shù)，第二個是正數(shù)，填表即可；
（2）根據(jù)以上規(guī)律可知是，若x₁=-10，x₂=30是（1）中所給的一列方程，則一定是第10個方程，則方程一定是x²-20x-300=0，把x₁=-10，x₂=30分別代入進(jìn)行驗證即可．
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知第k次方程的解是x₁=-k，x₂=3k，則方程就是x²-2kx-3k²=0．

解答：解：（1）∵x²-6x-27=0
即（x+3）（x-9）=0
∴x+3=0或x-9=0
∴x₁=-3，x₂=9；

（2）是，x²-20x-300=0；驗證：
當(dāng)x=-10時，
左邊=（-10）²-20×（-10）-300=0，
右邊=0，
左邊=右邊；
∴x=-10是原方程的解；
當(dāng)x=30時，
左邊=30²-20×30-300=0，
右邊=0，
左邊=右邊；
∴x=30是原方程的解；

（3）根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁=-k，x₂=3k；
∴方程為x²-2kx-3k²=0．

點評：本題不但考查了一元二次方程的解，而且考查了通過觀察總結(jié)規(guī)律的能力．此題是個閱讀型題目，首先通過閱讀所給材料，從中找出隱含的規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律解決一般情況的方程，題目也體現(xiàn)了從一般到特殊，再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．