Question

已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），BC=2AB，P為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、D不重合），以點(diǎn)P為圓心作⊙P與對(duì)角線AC相切于點(diǎn)F，過(guò)P、F作直線L，交BC邊于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁位置時(shí)，直線L恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)直線的解析式是y=2x+1
（1）BC、AP₁的長(zhǎng)；
（2）①求過(guò)B、P₁、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
②求當(dāng)⊙P與拋物線的對(duì)稱軸相切時(shí)⊙P的半徑r的值；
（3）以點(diǎn)E為圓心作⊙E與x軸相切，當(dāng)直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3：5時(shí)，則⊙P和⊙E的位置關(guān)系如何？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)在直線y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁為圓心，F(xiàn)₁為P₁與直線AC的切點(diǎn)，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽R(shí)t△CAB．
∴=，AP₁===1；


（2）易求B（0，1）、P₁（1，3）、D（4，3）．
設(shè)過(guò)B、P₁、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0），則
，
解得，，
所以拋物線解析式為：y=-x²+x+1；
②在Rt△ABP₁中，∵AB=2，AP₁=1，
∴BP₁=，
當(dāng)⊙P和⊙E相切時(shí)，PF=PE-EF=-1；
∵拋物線解析式為y=-x²+x+1，
∴拋物線的對(duì)稱軸是為：x=．
當(dāng)⊙P與直線x=相切時(shí)，AP=-r或AP=+r．
∵△AFP∽△ADC，
∴AP：AC=PF：CD，即AP：2=（-1）：2，
∴AP=5-．
當(dāng)AP=-r時(shí)，-r=5-，解得r=-（不合題意，舍去）；
當(dāng)AP=+r時(shí)，+r=5-，解得r=-．
綜上所述，當(dāng)⊙P與拋物線的對(duì)稱軸相切時(shí)⊙P的半徑r的值是-；

（3）外離或相交．理由如下：
∵Rt△APF∽R(shí)t△ACD，
∴AP：AC=PF：CD，
∴AP=5-．
設(shè)AP=m，梯形PECD的面積為S．
∵1≤m＜4，
∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）．
∵矩形ABCD的面積是8，且直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比值為3：5，
∴S_{四邊形PECD}=5或者S_{四邊形PECD}=3，
當(dāng)S_{四邊形PECD}=5時(shí)，9-2m=5，m=2，即AP=2，
∴1≤AP＜5-，
∴此時(shí)兩圓外離．
當(dāng)S_{四邊形PECD}=3時(shí)，9-2m=3，m=3，即AP=3，
∴5-＜AP＜4，
∴此時(shí)兩圓相交．
分析：（1）根據(jù)題意可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得出BC的長(zhǎng)，再證明Rt△BP₁A∽R(shí)t△CAB．即可求出AP₁的長(zhǎng)；
（2）①把點(diǎn)B、P₁、D的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），利用待定系數(shù)法求該拋物線的解析式；
②根據(jù)①的拋物線的解析式求得對(duì)稱軸方程．然后利用相似三角形△AFP∽△ADC的對(duì)應(yīng)邊的比成比例來(lái)求r的值；
（3）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，圓心距＞兩圓的半徑時(shí)外離，圓心距=兩圓的半徑時(shí)相切，圓心距＜兩圓的半徑時(shí)相交，求出AP相應(yīng)的取值范圍，確定⊙P和⊙E的位置關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)解析式，及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．圓與圓的位置關(guān)系有：相離（外離，內(nèi)含），相交、相切（外切、內(nèi)切），直線和圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離，所以這樣一來(lái)，我們?cè)诜治鲞^(guò)程中不能忽略所有的可能情況．