Question

已知：如圖，平面直角坐標系中，半圓的直徑AB在x軸上，圓心為D．半圓交y軸于點C，AC=2

5

，BC=4

5

．
（1）證明：△AOC∽△ACB；
（2）求以AO、BO兩線段長為根的一元二次方程；
（3）求圖象經過A、B、C三點的二次函數的表達式；
（4）設此拋物線的頂點為E，連接EC，試判斷直線EC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓的知識求出∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC然后可證明△AOC∽△ACB．
（2）由1得出相似三角形繼而求出線段比．求出AO=

AC2

AB

=2得解．
（3）設經過A、B、C三點的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，把已知坐標代入求出函數表達式．
（4）把函數表達式化簡求出點E的坐標，然后連接EC，CD，ED，根據勾股定理求證∠DCE=90°，即可知直線EC與⊙D的位置關系是相切．

解答：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠AOC=∠ACB，∠CAO=∠BAC．
∴△AOC∽△ACB．

（2）解：AB=

AC2+BC2

=10，
∵△AOC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AO

AC

．
∴AO=

AC2

AB

=2，BO=AB-AO=8．
∴以AO、BO兩線段長為根的一元二次方程為（ x-2 ）（ x-8 ）=0；

（3）解：在Rt△AOC中，OC=4，
∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）．
設經過A、B、C三點的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），依題意有：
∴

0 = 4a -2b +c 0= 64a +8b +c 4= 0 + 0 + c

，
∴

a=- 1 4 b= 3 2 c=4

∴表達式為：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4．

（4）直線EC與⊙D相切，理由如下：
∵y=-

1

4

x2+

3

2

x+4=-

1

4

(x-3)2+

25

4

，
∴頂點E的坐標為（3，

25

4

）．
連接EC、CD、ED，則CD=AD=5，ED=

25

4

．
∴CF=3，EF=

9

4

，CE=

15

4

．
∴CD²+CE²=

625

16

，DE²=

625

16

．
∴CD²+CE²=DE²．
∴∠DCE=90°，CD為半徑．
∴直線EC與⊙D的位置關系是相切．

點評：本題考查的是二次函數與圓的知識相結合的有關知識以及勾股定理的運用．難度較大．