Question

已知，如圖：平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+2x+c的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，其中點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線圖象與y軸交于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)D（2，3）．
（1）求c值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）動點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向終點(diǎn)B運(yùn)動（點(diǎn)M不與點(diǎn)C、B重合），以O(shè)M為邊在y軸右側(cè)做正方形OMNF．設(shè)M點(diǎn)運(yùn)動速度為

2

個單位/秒，運(yùn)動時間為t．求以O(shè)、M、N、B、F為頂點(diǎn)的五邊形面積與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將（2，3）代入拋物線的解析式求出c的值．
（2）設(shè)BC的解析式為y=ax+b，將C、D的坐標(biāo)代入，即可求得a、b的值；
（3）當(dāng)OM⊥BC時，構(gòu)不成五邊形，因此以此為界限分類討論，兩種情況下思路一樣，分別過O、N作BC的垂線，通過構(gòu)造的全等三角形，來求出△BMN中BM邊上的高，然后分別求正方形和三角形的面積即可．

解答：解：（1）把（2，3）代入y=-x²+2x+c中得c=3；

（2）設(shè)BC的解析式為y=ax+b，將C（0，3），B（3，0）代入y=ax+b中，
解得b=3，a=-1，故y=-x+3；

（3）當(dāng)OM⊥BC時，構(gòu)不成五邊形，因此以此為界限分類討論，
①當(dāng)

3

2

＜t＜3時，分別過O、N作BC的垂線，垂足分別為P、Q，則△OPM≌△MQN，PM=NQ，
其中，OP=CP=

3 2

2

，CM=

2

t，CB=3

2

，
所以PM=NQ=

2

t-

3 2

2

，MB=3

2

-

2

t，OM=

PM2+OP2

=

2t2-6t+9

，
所以，正方形OMNF的面積為2t²-6t+9，△BMN的面積為

1

2

×BM×NQ=-t2+

9

2

t-

9

2

，
故五邊形面積為s=t2-

3

2

t+

9

2

；
②當(dāng)0＜t＜

3

2

，同理可得s=t2-

9

2

t+9（0＜t＜

3

2

）．
綜上所述，s=t2-

9

2

t+9（0＜t＜

3

2

），s=t2-

3

2

t+

9

2

（

3

2

＜t＜3）．

點(diǎn)評：本題考查求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式等知識，綜合性比較強(qiáng)，難度較大．