Question

如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連接EG并延長交DC于點M，作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于點P，設正方形ABCD的邊長為1．

（1）證明：四邊形MPBG是平行四邊形；

（2）設BE=x，四邊形MNBG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）如果按題設作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）y=（0＜x＜1）；（3）BE=2﹣．

【解析】

試題分析：（1）分別證得DB∥ME和MN∥CB后利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證得結(jié)論.

（2）根據(jù)正方形BEFG，從而可得CM=1﹣x，然后得y=（BG+MN）•BN即可．

（3）由已知易得四邊形BGMP是平行四邊形，要使四邊形BGMP是菱形則BG=MG，可得x=（1﹣x），解得x即可．

試題解析：（1）∵ABCD、BEFG是正方形

∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°.

∴DB∥ME（同位角相等，兩直線平行）．

∵MN⊥AB，CB⊥AB，

∴MN∥CB．

∴四邊形MPBG是平行四邊形.

（2）∵正方形BEFG，

∴BG=BE=x．

∵∠CMG=∠BEG=45°，

∴CG=CM=BN=1﹣x．

∴y=（GB+MN）•BN=（1+x）（1﹣x）=（0＜x＜1）.

（3）∵四邊形BGMP是菱形，

∴BG=MG，

∴x=（1﹣x），

∴x=2﹣，

∴BE=2﹣．

考點：1.正方形的性質(zhì)；2.平行四邊形的判定；3.菱形的性質(zhì)；4.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；5.方程思想的應用.