Question

（2013•江寧區(qū)二模）如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，5）、（3，3），一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，如果以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式為

y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8

．

Answer 1

分析：如圖所示，分三種情況考慮：（i）當(dāng)直線(xiàn)MN與x軸、y軸交于N（2，0）、M（0，2），此時(shí)MN=AB=2

2

，且直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB斜率相同，即兩直線(xiàn)平行，可得出此時(shí)AMNB為平行四邊形，滿(mǎn)足題意，求出此時(shí)直線(xiàn)MN的方程；（ii）當(dāng)直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于N′、M′，此時(shí)M′N(xiāo)′=AB=2

2

，且直線(xiàn)M′N(xiāo)′與直線(xiàn)AB斜率相同，即兩直線(xiàn)平行，可得出AN′M′B為平行四邊形，求出此時(shí)直線(xiàn)的方程；（iii）直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于N′′、M′′，直線(xiàn)M′′N(xiāo)′′與直線(xiàn)AB交于C點(diǎn)，若C為M′′N(xiāo)′′與AB中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，求出此時(shí)直線(xiàn)方程即可．

解答：解：如圖所示：分三種情況考慮：
（i）當(dāng)直線(xiàn)MN與x軸、y軸交于N（2，0）、M（0，2），此時(shí)MN=AB=2

2

，
且直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB斜率相同，都為-1，即兩直線(xiàn)平行，
∴AMNB為平行四邊形，
將M、N兩點(diǎn)代入y=kx+b中得：

2k+b=0 b=2

，
解得：k=-1，b=2，此時(shí)直線(xiàn)MN的方程為y=-x+2；
（ii）當(dāng)直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于N′（-2，0）、M′（0，-2），此時(shí)M′N(xiāo)′=AB=2

2

，
且直線(xiàn)M′N(xiāo)′與直線(xiàn)AB斜率相同，都為-1，即兩直線(xiàn)平行，
∴AN′M′B為平行四邊形，
將M′、N′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b中得：

-2k+b=0 b=-2

，
解得：k=-1，b=-2，此時(shí)直線(xiàn)的方程為y=-x-2；
（iii）直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于N′′、M′′，直線(xiàn)M′′N(xiāo)′′與直線(xiàn)AB交于C點(diǎn)，
若C為M′′N(xiāo)′′與AB中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)C坐標(biāo)為（2，4），M′′（0，8），N′′（4，0），
將M′′、N′′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b得：

b=8 4k+b=0

，
解得：k=-2，b=8，
此時(shí)直線(xiàn)方程為y=-2x+8，
綜上，一次函數(shù)y=kx+b解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8．
故答案為：y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，直線(xiàn)的斜率，平行四邊形的判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的思想，做題時(shí)注意考慮問(wèn)題要全面，不用漏解．