Question

如圖，拋物線L₁：y=-x²-2x+3交x軸于A，B兩點，交y軸于M點．將拋物線L₁向右平移2個單位后得到拋物線L₂，L₂交x軸于C，D兩點．
（1）求拋物線L₂對應的函數表達式；
（2）拋物線L₁或L₂在x軸上方的部分是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是拋物線L₁上的一個動點（P不與點A，B重合），那么點P關于原點的對稱點Q是否在拋物線L₂上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于是平移，所以拋物線開口方向和開口大小不變．先求出L₁與x軸的交點，再求出L₂與x軸的交點，即可根據交點式求出拋物線解析式；
（2）由于是平移，根據平移的性質，連接各組對應點的線段平行且相等，故存在符合條件的點N；
（3）先設出L₁上的點（x₁，y₁），再根據中心對稱的定義求出其對稱點（-x₁，-y₁），再將（-x₁，-y₁）代入函數L₂解析式，成立則在圖象上，不成立則不在圖象上．
解答：解：（1）令y=0，得-x²-2x+3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵拋物線L₁向右平移2個單位得拋物線L₂，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴拋物線L₂為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．令x=0，得y=3．
∴M（0，3），
∵拋物線L₂是L₁向右平移2個單位得到的，
∴點N（2，3）在L₂上，且MN=2，MN∥AC．
又∵AC=2，
∴MN=AC．
∴四邊形ACNM為平行四邊形．
同理，L₁上的點N′（-2，3）滿足N′M∥AC，N′M=AC．
∴四邊形ACMN′是平行四邊形．
∴N（2，3）或N′（-2，3）即為所求．

（3）設點P（x₁，y₁）是L₁上任意一點（y₁≠0），
則點P關于原點的對稱點Q（-x₁，-y₁），且y₁=-x₁²-2x₁+3，
將點Q的橫坐標代入L₂，得y_Q=-x₁²-2x₁+3=y₁≠-y₁，
∴點Q不在拋物線L₂上．
點評：本題結合二次函數的圖象和性質，考查了平移、對稱和動點問題，涉及問題較廣泛，有一定難度，是一道好題．