Question

如圖，拋物線l₁：y=-x²平移得到拋物線l₂，且經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0），l₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，它的對稱軸與l₂相交于點(diǎn)C，設(shè)l₁、l₂與BC圍成的陰影部分面積為S，解答下列問題：
（1）求l₂表示的函數(shù)解析式及它的對稱軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出S的值．
（3）在直線AC上是否存在點(diǎn)P，使得S_△POA=

1

2

S？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【參考公式：拋物線y=ax²+bx+c 的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）】．

Answer 1

分析：（1）由拋物線l₂經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0），利用待定系數(shù)法即可求得l₂表示的函數(shù)解析式，然后利用配方法求得其頂點(diǎn)式，即可求得它的對稱軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由當(dāng)x=2時(shí)，y=-x²=-4，可得C點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-4），即可得S即是拋物線l₂與x軸組成的面積，則可求得S的值；
（3）首先設(shè)直線AC表示的函數(shù)解析式為y=kx+n，利用待定系數(shù)法即可求得此直線的解析式，然后設(shè)△POA的高為h，求得S_△POA，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m-8）．分別從當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)與當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)l₂的函數(shù)解析式為y=-x²+bx+c，
把點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0）代入函數(shù)解析式，得：

c=0 -16+4b+c=0

，
解得：

b=4 c=0

，
∴l(xiāng)₂表示的函數(shù)解析式為：y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴l(xiāng)₂的對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)B（2，4）；

（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=-x²=-4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-4），
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)B（2，4），
∴S即是拋物線l₁、l₂與x軸組成的面積，
∴S=

1

2

×2×（4+4）=8；

（3）存在．
理由：設(shè)直線AC表示的函數(shù)解析式為y=kx+n，
把A（4，0），C（2，-4）代入得：

4k+n=0 2k+n=-4

，
解得：

k=2 n=-8

，
∴y=2x-8，
設(shè)△POA的高為h，
S_△POA=

1

2

OA•h=2h=4，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m-8）．
∵S_△POA=

1

2

S，且S=8，
∴S_△POA=

1

2

×8=4，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，得

1

2

×4（2m-8）=4，
解得m=5，
∴2m-8=2．
∴P的坐標(biāo)為（5，2）．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，得

1

2

×4（8-2m）=4．
解得m=3，
∴2m-8=-2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2）或（3，-2）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的平移以及三角形面積等問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．