Question

8．如圖，OA=3，OB=6，以A點為直角頂點的等腰三角形△ABC在第四象限．
（1）求點C的坐標；
（2）在第四象限是否存在一點P，使△APB和△ABC全等？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥x軸于點E，證△OBA≌△EAC，推出CE=OA=3，AE=OB=6，即可求出C的坐標；
（2）過P作PQ⊥y軸于Q，證出△PQB≌△BOA，推出BQ=OA=3，PQ=OB=6，求出OQ=9，即可得出P的坐標．

解答 解：（1）過C作CE⊥x軸于E，如圖1所示：
則∠AEC=90°=∠AOB，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠EAC=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAC，
在△OBA和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAC}\\{∠AOB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△EAC（AAS），
∴CE=OA=3，AE=OB=6，
∴OE=3+6=9，
∴C（9，-3）；
（2）在第四象限內(nèi)存在一點P，使△PAB≌△CAB，
理由是：過P作PQ⊥y軸于Q，如圖2所示：
∵∠ABP=90°，
∴∠ABO+∠PBQ=90°，
又∵直角△ABO中，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠PBQ=∠OAB，
∴在△AOB和△BQP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BQP}\\{∠PBQ=∠OAB}\\{AB=PB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BQP．
∴BQ=OA=3，PQ=OB=6，OQ=6+3=9，
∴P的坐標是（6，-9），
∴在第四象限內(nèi)存在一點P，使△PAB≌△CAB，P的坐標是（6，-9）或（9，-3）．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強，有一定的難度．