Question

14．如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）．請(qǐng)解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E（2，m）在拋物線上，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，連接FH，求線段FH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）先得到點(diǎn)E（2，-3），根據(jù)勾股定理可求BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求線段HF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵點(diǎn)E（2，m）在拋物線上，
∴m=4-4-3=-3，
∴E（2，-3），
∴BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，即H為AB的中點(diǎn)，
∴FH是三角形ABE的中位線，
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．