Question

5．在同一平面內(nèi)，三條直線兩兩分別相交于點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)E分別作直線AB、AC的平行線，分別交直線AC、AB于點(diǎn)F、D．
①
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在B、C兩點(diǎn)之間時(shí)，求證：∠DEF=∠BAC；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線時(shí)，試判斷∠DEF與∠BAC的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，點(diǎn)E在線段CB延長線時(shí)，∠BEF的平分線交直線AB于G，過點(diǎn)E作EG的垂線．交直線AB于M，點(diǎn)N在FE延長線上；若∠ABC=80°，∠DEM：∠BED=2：3，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AB∥EF得出∠BAC=∠EFC，再由AC∥DE得出∠DEF=∠EFC，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)AC∥DE得出∠BAC=∠ADE，再由AB∥EF可知∠ADE+∠DEF=180°，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)AB∥EF可知∠FEC=∠ABC，∠BAC=∠EFC．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GEC=∠FEC，由垂直的定義可知∠GEM=90°，故可得出∠CEM的度數(shù)．再根據(jù)∠DEM：∠BED=2：3得出∠BED的度數(shù)，故可得出∠FED的度數(shù)，再由AC∥DE可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB∥EF，
∴∠BAC=∠EFC．
又∵AC∥DE，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠BAC=∠DEF；

（2）解：∵AC∥DE，
∴∠BAC=∠ADE．
∵AB∥EF，
∴∠ADE+∠DEF=180°，
∴∠BAC+∠DEF=180°；

（3）解：∵AB∥EF，
∴∠FEC=∠ABC=80°，∠BAC=∠EFC．
∵EG平分∠FEC，
∴∠GEC=∠FEC=$\frac{1}{2}$×80°=40°．
∵EG⊥EM，
∴∠GEM=90°，
∴∠CEM=∠GEM-∠GEC=50°．
又∵∠DEM：∠BED=2：3，
∴∠BED=30°，
∴∠FED=∠FEC+∠CED=80°+30°=110°．
∵AC∥DE，
∴∠FED+∠EFC=180°，
∴∠EFC=70°，
∴∠BAC=∠EFC=70°．

點(diǎn)評 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．