Question

【題目】如圖，拋物線過點(diǎn)和，點(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P(,)或P(,)

【解析】

(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入，解方程組即可；

(2)用m可表示出P、N的坐標(biāo)，由題意可知有P為線段MN的中點(diǎn)，可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3) 用m可表示出NP,PM,AM,分當(dāng)∠BNP=90°時和當(dāng)∠NBP=90°時兩種情況討論即可.

解： (1) 拋物線經(jīng)過點(diǎn)

解得

∴

(2)由題意易得，直線的解析式為

由，設(shè)，

則，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，即

∴，解得 (舍)

∴

(3) ．

由，設(shè)，

∴，，AM=3m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
當(dāng)∠BNP=90°時，則有BN⊥MN，
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
∴=2，
解得m=0(舍去)或m=，
∴P(,)；
當(dāng)∠NBP=90°時，過點(diǎn)N作NC⊥y軸于點(diǎn)C，

則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=2=，
∵∠NBP=90°，
∴∠NBC+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴，
∴m2=，
解得m=0(舍去)或m=，
∴P(,),
綜上可知，當(dāng)以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,)或P(,)．