Question

如圖，點O是Rt△ABC斜邊上一點，⊙O與AC，BC分別相切于點M，N．
（1）△AMO是否相似于△ONB？

 

（填“是”或“否”）；
（2）如果OA=4，OB=3，⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

分析：（1）是．根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到直角三角形，再根據(jù)等角的余角相等，證明兩個直角三角形的一對銳角相等，則兩角對應相等，兩個三角形相似；
（2）設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求得．

解答：解：（1）∵⊙O與AC，BC分別相切于點M，N，
∴O M⊥AC，ON⊥BC，
在△AMO和△ONB中，∠AMO=∠ONB=90°，
又∵BC⊥AC，OM⊥AC，
∴OM∥BC，
∴∠AOM=∠OBN，
故△AMO∽△ONB；

（2）∵OM∥CN，ON∥CM，OM=ON，∠C是直角，
∴四邊形CMON是正方形，
設(shè)⊙O的半徑為r，即OM=ON=CM=CN=r，
在Rt△AMO中，AM=

OA2-OM2

=

16-r2

，
又∵△AMO∽△ONB，
∴

AM

ON

=

AO

OB

，
故

16-r2

r

=

4

3

，
解得：r=

12

5

，
即⊙O的半徑是

12

5

．
故應該填是

12

5

．

點評：熟悉切線的性質(zhì)定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．