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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          如下圖,矩形ABCD中,AB = 8,BC = 10,點P在矩形的邊DC上由DC運動.沿直線AP翻折△ADP,形成如下四種情形.設DP = x,△ADP和矩形重疊部分(陰影)的面積為y

          (1)如圖丁,當點P運動到與C重合時,求重疊部分的面積y;

          (2)如圖乙,當點P運動到何處時,翻折△ADP后,點D恰好落在BC邊上?這時重疊部分的面積y等于多少?

          (3)閱讀材料:

          已知銳角a≠45°,tan2a 是角2a 的正切值,它可以用角a 的正切值tana 來表示,即

                    a≠45°).

          根據上述閱讀材料,求出用x表示y的解析式,并指出x的取值范圍.(提示:在圖丙中可設∠DAP = a

          解:(1)由題意可得 ∠DAC =∠DAC =∠ACE,∴ AE = CE

          AE = CE = m,則 BE = 10-m

          在Rt△ABE中,得 m2 = 82 +(10-m2,m = 8.2.

          ∴ 重疊部分的面積 y =? CE ? AB =×8.2×8 = 32.8(平方單位).

          另法   過EEOACO,由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO

          (2)由題意可得 △DAP≌△DAP,

          AD′ = AD = 10,PD′ = DP = x

          在Rt△ABD′ 中,∵ AB = 8,∴ BD′ == 6,于是 CD′ = 4.

          在Rt△PCD′ 中,由 x2 = 42 +(8-x2,得 x = 5.

          此時 y =? AD ? DP =×10×5 = 25(平方單位).

          表明當DP = 5時,點D恰好落在BC邊上,這時y = 25.

          另法   由Rt△ABD∽Rt△PCD′ 可求得DP

          (3)由(2)知,DP = 5是甲、丙兩種情形的分界點.

          當0≤x≤5時,由圖甲知 y = SADP = SADP =? AD ? DP = 5x

          當5<x<8時,如圖丙,設∠DAP = a,則 ∠AEB = 2a,∠FPC = 2a

          在Rt△ADP中,得 tana =

          根據閱讀材料,得 tan2a =

          在Rt△ABE中,有 BE = ABtan2a ==

          同理,在Rt△PCF中,有 CF =(8-x)tan2a =

          ∴ △ABE的面積

             SABE =? AB ? BE =×8×=

          PCF的面積

             SPCF =? PC ? CF =(8-x)×=

          而直角梯形ABCP的面積為

             S梯形ABCP =PC + AB)×BC =(8-x + 8)×10 = 80-5x

          故重疊部分的面積 y = S梯形ABCPSABESPCF= 80-5x

          經驗證,當x = 8時,y = 32.8適合上式.

          綜上所述,當0≤x≤5時,y = 5x;當5<x≤8時,y = 80-5x

          練習冊系列答案
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