Question

【題目】如圖，，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與，使得，分別交、于點(diǎn)、.

（1）求證：；

（2）連接，若，試求的值；

（3）記，，，若，，且、、為整數(shù)，求、、的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3），，.

【解析】

（1）利用三角形內(nèi)角和定理可得出即可證明結(jié)論；

（2）結(jié)合角的三角函數(shù)以及相似三角形的性質(zhì)可得出，利用，得出，最后利用勾股定理求解即可；

（3）設(shè)，則，，將式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程求解，利用求根公式以及a，b，的取值范圍可求出c的求值范圍，再求出整數(shù)解即可；同理可以令，求a的取值范圍再求解．

解：（1）∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴．

（2）由（1）得：，

∴．

∵，

∴．

又，

∴是等腰三角形．

∴，即，

∴，即．

∵，

∴．

在中，設(shè)，則，

由勾股定理，得．

∴．

（3）解法一：由（1）知：，即，

設(shè)，則，．

∵，

∴，即（*）

又∵，

∴，即，

∴方程（*）應(yīng)有根，

∴，

∴，（舍去）

由，解得：．

又∵為整數(shù)，

∴．

當(dāng)時(shí)，方程（*）的根為無(wú)理數(shù)，此時(shí)不為整數(shù)，不合題意．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，．

綜上所述，，，．

解法二：由（1）知：，即，

設(shè)，則，．

∵，

∴，即（*）

又∵，

∴，

即方程（*）應(yīng)有根滿(mǎn)足．

∴或

解得：或，

∴

又∵為整數(shù)，

∴．

當(dāng)時(shí)，方程（*）化為：，

解得：．

∴，．

當(dāng)時(shí)，方程（*）的根為無(wú)理數(shù)，此時(shí)不為整數(shù)，不合題意．

綜上所述，，，．