Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形中的點，拋物線經(jīng)過原點和點，并且有最低點點，分別在線段，上，且，，直線的解析式為，其圖像與拋物線在軸下方的圖像交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)時，求的取值范圍；

（3）在線段上是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為：，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得，從而得，進(jìn)而得，過點作，與交于點，求出點H的坐標(biāo)，進(jìn)而得：直線的解析式為，然后求出直線，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式，可得點D的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到答案；

（3）先證點，，，四點共圓，可得，作的垂直平分線交直線于點，連接，則，，作的垂直平分線交直線于點，則，，此時，進(jìn)而可求出點M的坐標(biāo)．

（1）設(shè)拋物線的解析式為：，

由題意可得：，，且拋物線經(jīng)過原點，

，解得，

拋物線的解析式為：；

（2）由（1）可知拋物線的對稱軸為：直線，點與點關(guān)于直線對稱，

，．

，，

，，

，

．

過點作，與交于點，如圖1，

，

，即：，

設(shè)直線的解析式為：，

，

，

直線的解析式為：，

∵當(dāng)時，求得，

，

∵

直線，

∵，解得：，（舍去），，

∵當(dāng)時，從圖像可得：直線在拋物線的上方且都在軸的下方才滿足條件，

∴的取值范圍為：；

（3），，，

，，，

，

，

∵四邊形是矩形，

∴，

，

點，，，四點共圓，

，

作的垂直平分線交直線于點，連接，則，，如圖2，

，

設(shè)，則，解得，

作的垂直平分線交直線于點，則，，如圖2，

∵，

∴，，

，解得：，

，

綜上所述，點的坐標(biāo)為．

圖1 圖2