Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點B、C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線x=2．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接PB、PC，求△PBC的面積；
（3）連接AC，在x軸上是否存在一點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點B，

∴當y=0時，x=3，

∴點B的坐標為（3，0），

∵y=﹣x+3過點C，易知C（0，3），

∴c=3．

又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2，

根據(jù)拋物線的對稱性，

∴點A的坐標為（1，0）．

又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（1，0），B（3，0），

∴

解得：

∴該拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3

（2）

解：如圖1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

又∵B（3，0），C（0，3），

∴PC= = =2 ，PB= = ，

∴BC= = =3 ，

又∵PB2+BC2=2+18=20，PC2=20，

∴PB2+BC2=PC2，

∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，

∴S△PBC= PBBC= × ×3 =3

（3）

解：如圖2，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，得P（2，﹣1），

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點M，

∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，

∴∠PBM=45°，PB= ．

由點B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，

由勾股定理，得BC=3 ．

假設(shè)在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

①當 = ，∠PBQ=∠ABC=45°時，△PBQ∽△ABC．

即 = ，

解得：BQ=3，

又∵BO=3，

∴點Q與點O重合，

∴Q1的坐標是（0，0）．

②當 = ，∠QBP=∠ABC=45°時，△QBP∽△ABC．

即 = ，

解得：QB= ．

∵OB=3，

∴OQ=OB﹣QB=3﹣ ，

∴Q2的坐標是（ ，0）．

③當Q在B點右側(cè)，

則∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，

故∠PBQ≠∠BAC．

則點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上，

綜上所述，在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（ ，0），

能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】本題主要考查待定系數(shù)法、方程、函數(shù)及三角形相似等知識，也考查了綜合運用數(shù)學知識、分析問題、解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，正確運用分類討論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，已知對稱軸的解析式以及B點的坐標，即可求出A的坐標，利用拋物線過A、B、C三點，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式（2）首先利用各點坐標得出得出△PBC是直角三角形，進而得出答案；（3）本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點P的坐標，然后求出BP的長，進而分情況進行討論：①當 = ，∠PBQ=∠ABC=45°時，根據(jù)A、B的坐標可求出AB的長，根據(jù)B、C的坐標可求出BC的長，已經(jīng)求出了PB的長度，那么可根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長，即可得出Q的坐標．②當 = ，∠QBP=∠ABC=45°時，可參照①的方法求出Q的坐標．③當Q在B點右側(cè)，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．