Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y= x+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＜0）的圖象交于點A（﹣1，2）和點B，點C在y軸上．

（1）當(dāng)△ABC的周長最小時，求點C的坐標；
（2）當(dāng) x+b＜ 時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點C，此時點C即是所求，如圖所示．

∵反比例函數(shù)y= （x＜0）的圖象過點A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ （x＜0）；

∵一次函數(shù)y= x+b的圖象過點A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+ ．

聯(lián)立一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式成方程組： ，

解得： ，或 ，

∴點A的坐標為（﹣1，2）、點B的坐標為（﹣4， ）．

∵點A′與點A關(guān)于y軸對稱，

∴點A′的坐標為（1，2），

設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，

則有 ，解得： ，

∴直線A′B的解析式為y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，則y= ，

∴點C的坐標為（0， ）．

（2）解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x＜﹣4或﹣1＜x＜0時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，

∴當(dāng) x+ ＜﹣ 時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．

【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、軸對稱中的最短線路問題、利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）求出直線A′B的解析式；（2）找出交點坐標．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時，找出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點C，此時點C即是所求．由點A為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，利用待定系數(shù)法和反比例函數(shù)圖象點的坐標特征即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點A、B的坐標，再根據(jù)點A′與點A關(guān)于y軸對稱，求出點A′的坐標，設(shè)出直線A′B的解析式為y=mx+n，結(jié)合點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B的解析式，令直線A′B解析式中x為0，求出y的值，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合點A、B的坐標，即可得出不等式的解集．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對軸對稱-最短路線問題的理解，了解已知起點結(jié)點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結(jié)點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．