Question

（1997•廣州）已知半徑分別為r₁和r₂的⊙O₁和⊙O₂外切于點P．
（1）若O₁A切⊙O₂于點A，O₂B和⊙O₁于點B，試指出O₁A和O₂B的大小關(guān)系；
（2）若直線CD切⊙O₁于點C，切⊙O₂于點D，直線CP交⊙O₂于點E，且直線EF∥DC，試判斷直線EF與⊙O₂的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接O₁O₂、O₁A、O₂B，則O₁O₂=r₁+r₂，O₂A=r₂，O₁B=r₁．根據(jù)勾股定理得出（r₁+r₂）²-r₂²=O₁A²，（r₁+r₂）²-r₁²=O₂B²，分情況討論即可；
（2）分別連接O₁C、O₁O₂、O₂E．求出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠1=∠4，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠5=∠6，根據(jù)切線的性質(zhì)推出∠4+∠6=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：（1）解：連接O₁O₂、O₁A、O₂B，則O₁O₂=r₁+r₂，O₂A=r₂，O₁B=r₁．
∵點A和點B都是切點，
∴△O₁O₂A和△O₁O₂B都是直角三角形，
∴（r₁+r₂）²-r₂²=O₁A²，（r₁+r₂）²-r₁²=O₂B²，
當(dāng)r₁＞r₂時，O₁A＞O₂B；
當(dāng)r₁=r₂時，O₁A=O₂B；
當(dāng)r₁＜r₂時，O₁A＞O₂B；

（2）直線EF與⊙O₂相切，
證明：
分別連接O₁C、O₁O₂、O₂E．
∵⊙O₁和⊙O2外切于點P，
∴點P在O₁O₂上．
∵O₁C=O₁P，O₂P=O₂E，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∵EF∥CD，
∴∠5=∠6，
∵CD與⊙O₁相切于點C，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴O₂E⊥EF，
∵O₂E過O₂，
∴EF與⊙O₂相切．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，相切兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．