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          已知：等邊△ABC的邊長為a，
          

          探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=；
          探究（2）：在等邊△ABC內(nèi)取一點O，過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點D、E、F。
          ①如圖2，若點O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1：OD+OE+OF=；結(jié)論2：AD+BE+CF=；
          ②如圖3，若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點，則上述結(jié)論1，2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由。
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          


          
解：（1）如圖，∵為等邊三角形
          ∴
          ∵
          ∴
          ∴
          ∴
          同理：
          ∴為等邊三角形
          在中，
          在中，
          ∴。          		

          

          
（2）結(jié)論1成立
          證明：如圖，連接
          由
          作，垂足為H
          則
          ∴
          ∴
          ∴。          		

          

          


          結(jié)論2成立
          證明：如圖，過頂點依次作邊的垂線圍成
          由（1）得為等邊三角形且
          過點O分別作于，于于點于點
          由結(jié)論1得：
           
          又∵
          ∴
          ∴四邊形為矩形
          ∴
          同理：
          ∴。
          		

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知：等邊△ABC的邊長為a．
          探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=
          		3
          a；
          探究（2）：在等邊△ABC內(nèi)取一點O，過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點D、E、F．
          ①如圖2，若點O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1． OD+OE+OF=
          		3
          2
          a；結(jié)論2． AD+BE+CF=
          3
          2
          a；
          ②如圖3，若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點，則上述結(jié)論1，2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知，等邊△ABC的邊長AB=2，則其面積為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•新華區(qū)一模）已知：等邊△ABC的面積為S，Dn，En，F(xiàn)n（n為正整數(shù)0分別是AB，BC，CA邊上的點，連接DnEn，EnFn，F(xiàn)nDn，可得△DnEnFn．
          如圖1，當AD1=BE1=CF1=
          1
          2
          AB時，我們?nèi)菀椎玫健鱀1E1F1是等邊三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=
          1
          4
          S．
          探究論證：
          （1）如圖2，當AD2=BE2=CF2=
          1
          3
          AB時，
          ①△D2E2F2是
          等邊
          等邊
          三角形（填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”）；
          ②S△AD2F2=
          2
          9
          S
          2
          9
          S
          ；S△D2E2F2=
          1
          3
          S
          1
          3
          S
          （用含S的代數(shù)式表示）；
          ③請說明以上結(jié)論的正確性．
          猜想發(fā)現(xiàn)：
          （2）如圖3，當ADn=BEn=CFn=
          1
          n+1
          AB時，
          ①△DnEnFn是
          等邊
          等邊
          三角形（填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”）；
          ②S△ADnFn=
          n
          (n+1)2
          S
          n
          (n+1)2
          S
          ；S△DnEnFn=
          n2-n+1
          (n+1)2
          S
          n2-n+1
          (n+1)2
          S
          （用含S的代數(shù)式表示）．
          實際應(yīng)用：
          （3）學(xué)校有一塊面積為49m2的等邊△ABC空地，按如圖4所示分割，其中AD6=BE6=CF6=
          1
          7
          AB，計劃在△D6E6F6內(nèi)栽種花卉，其余地方鋪草坪，則栽種花卉（即陰影部分）的面積為多少m2？
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知：等邊△ABC的邊長為6厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為x秒．
          （1）請寫出線段MN從出發(fā)到終止所需要的時間t；
          （2）線段MN在運動的過程中，x為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？
          （3）線段MN在運動的過程中，設(shè)四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為x．求四邊形MNQP的面積S隨運動時間x變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來源：第7章《銳角三角函數(shù)》中考題集（24）：7.5 解直角三角形（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知：等邊△ABC的邊長為a．
          探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=a；
          探究（2）：在等邊△ABC內(nèi)取一點O，過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點D、E、F．
          ①如圖2，若點O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1． OD+OE+OF=a；結(jié)論2． AD+BE+CF=a；
          ②如圖3，若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點，則上述結(jié)論1，2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

          

			
          

			
          
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