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        1. 已知:等邊△ABC的邊長為a.
          探究(1):如圖1,過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG,求證:△MNG是等邊三角形且MN=a;
          探究(2):在等邊△ABC內(nèi)取一點O,過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分別為點D、E、F.
          ①如圖2,若點O是△ABC的重心,我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論(不必證明):結(jié)論1. OD+OE+OF=a;結(jié)論2. AD+BE+CF=a;
          ②如圖3,若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點,則上述結(jié)論1,2是否仍然成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.

          【答案】分析:(1)本題中△ABC為等邊三角形,AB=BC=a,∠ABC=60°,求出∠N,∠G的值,在直角△AMB、△CNB中,可以先用a表示出MB,NB然后再表示出MN,這樣就能證得MN=a;
          (2)判定①是否成立可通過構(gòu)建直角三角形,把所求的線段都轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行求解;
          判斷②是否成立,也要通過構(gòu)建直角三角形,可根據(jù)勾股定理,把所求的線段都表示出來,然后經(jīng)過化簡得出結(jié)論②是否正確.
          解答:(1)證明:如圖1,∵△ABC為等邊三角形,
          ∴∠ABC=60°.
          ∵BC⊥MN,BA⊥MG,
          ∴∠CBM=∠BAM=90°.
          ∴∠ABM=90°-∠ABC=30°.
          ∴∠M=90°-∠ABM=60°.
          同理:∠N=∠G=60°.
          ∴△MNG為等邊三角形.
          在Rt△ABM中,BM=a,
          在Rt△BCN中,BN=a,
          ∴MN=BM+BN=a.

          (2)②:結(jié)論1成立.
          證明:如圖3,過點O作GH∥BC,分別交AB、AC于點G、H,過點H作HM⊥BC于點M,
          ∴∠DGO=∠B=60°,∠OHF=∠C=60°,
          ∴△AGH是等邊三角形,
          ∴GH=AH.
          ∵OE⊥BC,
          ∴OE∥HM,
          ∴四邊形OEMH是矩形,
          ∴HM=OE.
          在Rt△ODG中,OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG,
          在Rt△OFH中,OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH,
          在Rt△HMC中,HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC,
          ∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH
          =(GH+HC)=AC=a.

          (2)②:結(jié)論2成立.
          證明:如圖4,連接OA、OB、OC,根據(jù)勾股定理得:
          BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①,
          CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②,
          AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③,
          ①+②+③得:BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2,
          ∴BE2+CF2+AD2=(a-AD)2+(a-BE)2+(a-CF)2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
          整理得:2a(AD+BE+CF)=3a2
          ∴AD+BE+CF=a.
          點評:本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識點,由于知識點比較多,本題的難度比較大.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:等邊△ABC的邊長為a.
          探究(1):如圖1,過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG,求證:△MNG是等邊三角形且MN=
          3
          a;
          探究(2):在等邊△ABC內(nèi)取一點O,過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA,垂足分別為點D、E、F.
          ①如圖2,若點O是△ABC的重心,我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結(jié)論(不必證明):結(jié)論1. OD+OE+OF=
          3
          2
          a;結(jié)論2. AD+BE+CF=
          3
          2
          a;
          ②如圖3,若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點,則上述結(jié)論1,2是否仍然成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知,等邊△ABC的邊長AB=2,則其面積為
           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•新華區(qū)一模)已知:等邊△ABC的面積為S,Dn,En,F(xiàn)n(n為正整數(shù)0分別是AB,BC,CA邊上的點,連接DnEn,EnFn,F(xiàn)nDn,可得△DnEnFn
          如圖1,當(dāng)AD1=BE1=CF1=
          1
          2
          AB時,我們?nèi)菀椎玫健鱀1E1F1是等邊三角形,且SAD1F1=S△D1E1F1=
          1
          4
          S.
          探究論證:
          (1)如圖2,當(dāng)AD2=BE2=CF2=
          1
          3
          AB時,
          ①△D2E2F2
          等邊
          等邊
          三角形(填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”);
          SAD2F2=
          2
          9
          S
          2
          9
          S
          ;S△D2E2F2=
          1
          3
          S
          1
          3
          S
          (用含S的代數(shù)式表示);
          ③請說明以上結(jié)論的正確性.
          猜想發(fā)現(xiàn):
          (2)如圖3,當(dāng)ADn=BEn=CFn=
          1
          n+1
          AB時,
          ①△DnEnFn
          等邊
          等邊
          三角形(填寫“等腰”或“等邊”或“不等邊”);
          S△ADnFn=
          n
          (n+1)2
          S
          n
          (n+1)2
          S
          ;S△DnEnFn=
          n2-n+1
          (n+1)2
          S
          n2-n+1
          (n+1)2
          S
          (用含S的代數(shù)式表示).
          實際應(yīng)用:
          (3)學(xué)校有一塊面積為49m2的等邊△ABC空地,按如圖4所示分割,其中AD6=BE6=CF6=
          1
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          AB,計劃在△D6E6F6內(nèi)栽種花卉,其余地方鋪草坪,則栽種花卉(即陰影部分)的面積為多少m2?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:等邊△ABC的邊長為6厘米,長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點A出發(fā),沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動(運動開始時,點M與點A重合,點N到達點B時運動終止),過點M、N分別作AB邊的垂線,與△ABC的其它邊交于P、Q兩點,線段MN運動的時間為x秒.
          (1)請寫出線段MN從出發(fā)到終止所需要的時間t;
          (2)線段MN在運動的過程中,x為何值時,四邊形MNQP恰為矩形?
          (3)線段MN在運動的過程中,設(shè)四邊形MNQP的面積為S,運動的時間為x.求四邊形MNQP的面積S隨運動時間x變化的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案