Question

已知：等邊△ABC的邊長為6厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為x秒．
（1）請寫出線段MN從出發(fā)到終止所需要的時間t；
（2）線段MN在運動的過程中，x為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？
（3）線段MN在運動的過程中，設四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為x．求四邊形MNQP的面積S隨運動時間x變化的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊△ABC的邊長為6厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動可知，線段MN移動的距離=6-1=5cm，由此即可得出t的值；
（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D．當PQ∥AB時即可得出四邊形MNQP是矩形時x的值；
（3）根據(jù)①當0＜x＜2時；②當2≤x≤3時；③當3＜x＜5時，分別求出四邊形MNQP的面積，即四邊形MNQP的面積S隨運動時間x變化的函數(shù)關系式．

解答：解：（1）∵等邊△ABC的邊長為6厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上從點A出發(fā)，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動，
∴線段MN移動的距離=6-1=5cm，
∴t=

5

1

=5（秒）；

（2）如圖1所示：過點C作CD⊥AB，垂足為D，
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴AD=3，
∵當MN運動到被CD垂直平分時，四邊形MNQP是矩形，即當AM=3-

1

2

=

5

2

時，四邊形MNQP是矩形，
∴x=

5

2

秒時，四邊形MNQP是矩形；

（3）①如圖2所示，當0＜x≤2時，點P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=x，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

x，
在Rt△ANQ中，
∵AN=AM+MN=x+1，
∴QN=

3

AN=

3

（x+1），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

x+

3

（x+1）]=

3

x+

3

2

；
②如圖3所示：
當2≤x≤3時，點P在AC上，點Q在BC上，
∵PM=

3

t，BN=AB-AM-MN=6-x-1=5-x，
在Rt△BNQ中，
∵QN=

3

BN=

3

（5-x），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

x+

3

（5-x）]×1=

5 3

2

；
③當3≤x＜5時，點P、Q都在BC上，
∵BM=6-x，BN=5-x，
∴PM=

3

BM=

3

（6-x），QN=

3

BN=

3

（5-x），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（6-x）+

3

（5-x）]=

11

2

3

-

3

x．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到動點問題，比較復雜，解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，由數(shù)形結合便可解答，體現(xiàn)了數(shù)形結合在解題中的重要作用．