Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB＝2AD＝4．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°≤α≤180°），BD的延長線交直線CE于點P.

（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是 ；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)AD⊥BD時，求出CP的長；

（3）在此旋轉(zhuǎn)過程中，求點P運動的路線長.[

 

 

Answer 1

（1）BD=EC，BD⊥CE；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可.

（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進而求出四邊形ADPE為正方形，即可得出CP的長.

（3）由（2）知，當(dāng)α=60°時，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時∠AOP=60°，得出點P運動的路線是以O(shè)為圓心，OA長為半徑的弧長，進而利用弧長公式求出即可．

試題解析：（1）BD=EC，BD⊥CE．理由如下：

∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4，

∴D，E分別是AB和AC的中點.

∴BD=EC=AD=AE，BD⊥CE.

（2）如圖3所示：

∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.

∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.

∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形．∴AD=PE=2.

∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.

∴BD=CE=.

∴CP=CE-PE=.

（3）如圖4，取BC的中點O，連接OP、OA，

∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=.

在此旋轉(zhuǎn)過程中（0°≤α≤180°），由（2）知，當(dāng)α=60°時，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時∠AOP=60°，

∴點P運動的路線是以O(shè)為圓心，OA長為半徑的弧長.

∴點P運動的路線長為：

考點：1.面動旋轉(zhuǎn)問題；2.弧長公式；3.正方形的判定和性質(zhì)；4.全等三角形的判定和性質(zhì).