Question

3．如圖，直角坐標(biāo)系中，點A（0，a），點B（b，0），若a、b滿足（a-b-8）²+|2a+b-4|=0，C是B點關(guān)于y軸的對稱點．
（1）求出C點的坐標(biāo)；
（2）如圖1，動E點從B點出發(fā)，沿BA方向向A點勻速運動，同時，動點F以相同的速度，從C點出發(fā)，在AC延長線上沿AC方向運動，EF與BC交點為M，當(dāng)E運動到A時，兩點同時停止運動，在此過程中，EM與FM的大小關(guān)系是否不變？請說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，過M作MN⊥EF交y軸于點N，N點的位置是否改變？若不改變，請求出N點的坐標(biāo)，若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用非負(fù)性得出a，b，再用對稱性即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出ED=CF，進而判斷出△DEM≌△CFM即可得出結(jié)論，
（3）先判斷出△BEN≌△CFN得出∠EBN=∠FCN最后再用對稱性得出ON=OC即可．

解答 解：（1）∵（a-b-8）2≥0，|2a+b-4|≥0，（a-b-8）²+|2a+b-4|=0
∴a-b-8=0，2a+b-4=0，解得，a=4，b=-4
∴A（0，4），B（-4，0），
∵B，C關(guān)于y軸對稱，
∴C（4，0），
（2）EM與FM的大小關(guān)系是始終相等的．理由如下：
如圖1，

過E點作ED∥AC交BC于D點，
∵B，C關(guān)于y軸對稱，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵ED∥AC，
∴∠EDM=∠FCM，∠EDB=∠ACB，
∴∠ABC=∠EDB，
∴EB=ED，
∵EB=CF，
∴ED=CF，
在△DEM和△CFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠FMC}\\{∠EDM=∠FCM}\\{DE=CF}\end{array}\right.$
∴△DEM≌△CFM，
∴EM=FM；
（3）N點的位置不改變，N（0，-4）．
理由如下：如圖2，

連接BN，CN，EN，F(xiàn)N，
∵B，C關(guān)于y軸對稱，
∴BN=CN，
∵MN⊥EF，EM=FM，
∴EN=FN，
∵△DEM≌△CFM，
∴BE=CF，
在△BEN和△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{NB=BC}\\{BE=NF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△BEN≌△CFN，
∴∠EBN=∠FCN，
∵B，C關(guān)于y軸對稱，
∴∠EBN=∠ACN，
∴∠ACN=∠FCN，
∵∠CAN+∠FCN=180°，
∴∠ACN=∠FCN=90°，
∵OA=OC，∠AOC=45°，
∴∠ACO=∠NCO=45°
∵∠CON=90°，
∴∠CNO=45°=∠NCO，
∴ON=OC=4，
∴N（0，-4）．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了非負(fù)性，全等三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷出△DEM≌△CFM和△BEN≌△CFN，是一道中等難度的中考�？碱}．