Question

13．閱讀下面材料：
小胖遇到這樣一個(gè)問題：
如圖所示，在四邊形ABDE中，AE∥BD，∠B=45°，點(diǎn)C為BD中點(diǎn)，且AC⊥BD，過點(diǎn)E做EF⊥DE，交AB于點(diǎn)F，圖1中是否存在與EF相等的線段？若存在，請(qǐng)找出并加以證明，若不存在，說明理由．
小胖通過探究發(fā)現(xiàn)，他所構(gòu)造的全等三角形，其實(shí)就是將△AEF繞平面內(nèi)某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．
請(qǐng)回答：
（1）小胖發(fā)現(xiàn)的與EF相等的線段是ED；
（2）根據(jù)小胖的想法，在圖1中補(bǔ)充相應(yīng)的輔助線，進(jìn)而證明小胖發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
參考小胖思考問題的方法，解決下面的問題：
（3）如圖2，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=20°，AB=CD，求∠ABD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接AD，作EM⊥AE，交AD于M，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AD，證出△AEM是等腰直角三角形，得出AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，證出∠AEF=∠MED，由ASA證明△EAF≌△EMD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即；
（3）利用折疊先構(gòu)造出△BDC≌△BEC，再作出等邊三角形，進(jìn)而判斷出四邊形ABFC是平行四邊形，再判斷出△BCE≌△BFE，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）小胖發(fā)現(xiàn)的與EF相等的線段是ED；
故答案為：ED；
（2）連接AD，作EM⊥AE，交AD于M，如圖所示：
則∠AEM=90°，
∵AC⊥BD，點(diǎn)C為BD中點(diǎn)，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=45°，
∴∠BAD=90°，
∵AE∥BD，
∴∠EAM=∠ADB=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，
∴∠EAF=90°+45°=135°=∠EMD，
又∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠MED，
在△EAF和△EMD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠MED}\\{AE=ME}\\{∠EAF=∠EMD}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△EMD（ASA），
∴EF=ED．
（3）如圖1，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°-80°-20°=80°，∴AC=BC
將△BDC沿BC折疊得到△BEC，
∴△BDC≌△BEC，
∴CD=CE，∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCE=20°，
以CE為邊在CE下邊作等邊三角形CEF，
∴CE=CF=EF，∴CD=CF，
∵CD=AB，
∴AB=CF，
∵△CEF是等邊三角形，
∴∠ECF=∠EFC=60°，
∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=20°+60°=80°=∠ABC，
∴AB∥CF，
∵AB=CF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，
∴BF=AC=BC，∠CFB=∠BAC=80°，
∴∠BFE=∠BFC-∠EFC=80°-60°=20°=∠BCE，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=EF}\\{∠BCE=∠BFE=20°}\\{BC=BF（已證）}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠CBE=∠FBE，
在△BCF中，∠BCF=∠CFB=80°，
∴∠CBF=180°-∠BCF-∠CFB=20°，
∴∠CBE=∠FBE=$\frac{1}{2}$∠CBF=10°，
∴∠DBC=∠EBC=10°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=80°-10°=70°．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．是一道很好的題目，尤其是第三問．