Question

【題目】如圖1，在中，，點(diǎn)D、E分別在邊上，連接DE，且.

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：若，則______________________.

（2）拓展探究：若，將饒點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，圖2是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的某一位置，在此過(guò)程中的大小有無(wú)變化？如果不變，請(qǐng)求出的值，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）問(wèn)題解決：若，將旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，則的值為______________.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）有變化，理由見(jiàn)解析；（3）2cosβ

【解析】

（1）過(guò)E作EF⊥AB于F，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，以此得出四邊形EFBD為矩形，得到EF=BD，推出△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出結(jié)論即可；

（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，之后進(jìn)一步根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；

（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出,即，根據(jù)角的和差得到∠ACE=∠BCD，求得△ACE∽△BCD，證明出，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于F，則AC=2CF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)進(jìn)一步得出結(jié)論即可.

如圖1，過(guò)E作EF⊥AB于F，

∵BA=BC，DE=DC，∠ACB=∠ECD=45°，

∴∠A=∠C=∠DEC=45°，

∴∠B=∠EDC=90°，

∴四邊形EFBD是矩形，

∴EF=BD，EF∥BC，

∴∠AEF=∠C=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴；

（2）

大小有變化，理由如下：

由題意得：△ABC與△EDC是等腰三角形，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∵∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴,

在△ABC中，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F點(diǎn)，則AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BC×cos30°=，

∴AC=，

∴;

（3）

由題意得：△ABC與△EDC是等腰三角形，且∠ACD=∠ECD=β，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∵∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴,

在△ABC中，如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F點(diǎn)，則AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BCcosβ，

∴AC=2BCcosβ，

∴2cosβ.