Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．點P從點A出發(fā)，沿折線AB—BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動．點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒2個單位長度的速度運動．點P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P停止時，點Q也隨之停止．設(shè)點P運動的時間為t秒．

（1）求線段AC的長．

（2）求線段BP的長．（用含t的代數(shù)式表示）

（3）設(shè)△APQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)PQ，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行或垂直時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)0≤t≤2時，BP=10-5t；當(dāng)2＜t≤4時，BP=3·(t-2)=3t-6；（3）；（4）t=0或t=4或或或.

【解析】

（1）利用勾股定理可求AC；

（2）由題意可知，當(dāng)0≤t≤2時，點P在AB上，當(dāng)2＜t≤4時，點P在BC上（不包含B），分情況求解即可；

（3）分情況討論：①當(dāng)0≤t≤2時，②當(dāng)2＜t≤4時，分別用t表示出AQ和△APQ中邊AQ上的高，利用三角形面積公式求解即可；

（4）分四種情況討論：①當(dāng)PQ⊥BC時，②當(dāng)PQ⊥AB時，③當(dāng)PQ⊥AC時，④當(dāng)PQ∥AB時，根據(jù)題意，分別利用同角的三角函數(shù)相等和相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴；

（2）由題意可知，當(dāng)0≤t≤2時，點P在AB上，當(dāng)2＜t≤4時，點P在BC上（不包含B），

∴當(dāng)0≤t≤2時，BP=10-5t，

當(dāng)2＜t≤4時，BP=3·(t-2)=3t-6；

（3）分兩種情況討論：

①當(dāng)0≤t≤2時，過點P作PE⊥AC于點E，

由題意得：AP=5t，CQ=3t，則AQ=8-3t，

∵sin∠PAE=，

∴PE=3t，

∴；

②當(dāng)2＜t≤4時，

∵BP=3t-6，

∴CP=12-3t，

∴，

綜上所述：；

（4）分四種情況討論：

①由題意可得，當(dāng)PQ⊥BC時，t=0或t=4；

②當(dāng)PQ⊥AB時，如圖，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

③當(dāng)PQ⊥AC時，如圖，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

④當(dāng)PQ∥AB時，易得△CPQ∽△CBA，如圖，

∵CP=12-3t，CQ=3t，

∴，即，

解得：，

綜上所述，當(dāng)t=0或t=4或或或時，PQ與△ABC的一邊平行或垂直.