Question

某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成，如圖，在和扇形中，與、分別相切于A、B，，E、F事直線與、扇形的兩個交點，EF=24cm，設(shè)的半徑為x cm，

① 用含x的代數(shù)式表示扇形的半徑；

② 若和扇形兩個區(qū)域的制作成本分別為0.45元和0.06元，當(dāng)的半徑為多少時，該玩具成本最��？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）連接O₁A。

 

 

 ∵⊙O₁與O₂C、O₂D分別切一點A、B，

∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D。

∵，∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°。

在Rt△O₁AO₂中，，∴O₁O₂=A O₁ sin∠AO₂O₁ =x sin30° =2x。

∵EF=24cm，∴FO₂=EF－EO₁－O₁O₂=24－3x，即扇形O₂CD的半徑為（24－3x）cm。

（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，則

。

∴當(dāng)x=4時，y的值最小。

答：當(dāng)⊙O₁的半徑為4cm時，該玩具的制作成本最小。

【解析】切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，扇形面積的計算，二次函數(shù)的最值。

（1）連接O₁A．由切線的性質(zhì)知∠AO₂O₁=∠CO2D=30°；然后在Rt△O₁AO₂中利用銳角三角函數(shù)的定義求得O₁O₂=2x；最后由圖形中線段間的和差關(guān)系求得扇形O₂CD的半徑FO₂。

（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，則根據(jù)圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的最值即可求得該玩具的最小制作成本。