Question

（2012•南京）某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成，如圖，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁與O₂C、O₂D分別切于點A、B，已知∠CO₂D=60°，E、F是直線O₁O₂與⊙O₁、扇形O₂CD的兩個交點，且EF=24cm，設⊙O₁的半徑為xcm．
（1）用含x的代數(shù)式表示扇形O₂CD的半徑；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD兩個區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm²和0.06元/cm²，當⊙O₁的半徑為多少時，該玩具的制作成本最��？

Answer 1

分析：（1）連接O₁A．利用切線的性質(zhì)知∠AO₂O₁=

1

2

∠CO₂D=30°；然后在Rt△O₁AO₂中利用“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”求得O₁O₂=2x；最后由圖形中線段間的和差關(guān)系求得扇形O₂CD的半徑FO₂為：EF-EO₁-O₁O₂=24-3x；
（2）設該玩具的制作成本為y元，則根據(jù)圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的最值即可求得該玩具的最小制作成本．

解答：解：（1）連接O₁A．
∵⊙O₁與O₂C、O₂D分別切一點A、B
∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，
∴∠AO₂O₁=

1

2

∠CO₂D=30°，
∴在Rt△O₁AO₂中，O₁O₂=2AO₁=2x．
∴FO₂=EF-EO₁-O₁O₂=24-3x，即扇形O₂CD的半徑為（24-3x）cm．

（2）設該玩具的制作成本為y元，則
y=0.45πx²+0.06×

(360-60)×π×(24-3x)2

360

=0.9πx²-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）²+14.4π
所以當x-4=0，即x=4時，y的值最�。�
答：當⊙O₁的半徑為4cm時，該玩具的制作成本最小．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、扇形面積的計算、解直角三角形以及二次函數(shù)的最值．在利用二次函數(shù)求最值時，此題采用了配方法．